二重积分的概念和性质
引入
1.曲顶柱体的体积
设有一立体，底面是xOy平面上闭区域D
顶是曲面z= f (x，y)，侧面是柱面。
问题:如何计算此曲顶柱体的V?→将D分成n个小闭区域
Δδ₁，Δδ₂，……，Δδₙ
在小区域Δδᵢ中任取一点(ζᵢ,ηᵢ)，则第i个小柱体体积为(ζᵢ,ηᵢ)•Δδᵢ
记n个小区域的直径最大值为λ，则
二重积分定义
f(x,y)为有界闭区域D上有界函数。
其中D为积分区域，dσ为面积元素（有时记作dxdy )
二重积分的性质
二重积分的计算
直角坐标
直角坐标计算二重积分主要分为三步：
1）画出区域D的图形
2）写出x,y的范围
3）代入计算
例题1
第一步，先画出范围
首先根据题意画出图像
第二步，写出x，y范围
如图按照x型，x是按照数字来进行划定范围，如图，x的范围为1→2；
y则是按照函数来进行划定范围，如图，y的范围为1→x。
第三步，带入公式并进行计算
如图，红色是x的范围（为1→2）；蓝色是y的范围（为1→x）。
在计算xydy的积分时，应该把x看为常数，并且把x和1分别带入y（得到x/2 * x^2-x/2 * 1^2）
完整的计算过程如下：
例题2
根据上述步骤，解法如下
例题3
其他性质
1)若被积函数关于x为奇函数，且积分区域D关于y轴对称，则积分为0
2)若被积函数关于y为奇函数，且积分区域D关于x轴对称，则积分为0
交换积分次序
步骤如下
1.根据题目的区域画出图像
题中x:1→3，y:0→x-1，得出如图区域
2.重新划定区域
若题给出的是x型，那么根据第一步图像重新转为y型；
若题给出的是y型，那么根据第一步图像重新转为x型。
题示为x型，那么我们转换为y型：
y:0→2;
x:y+1→3;
3.代入原公式
极坐标
极坐标求二重积分
总体依然为三步
例题
